I am John Doe Web Designer Photography

SUKUBANYAK

A.    Aspek – aspek umum mengenai suku banyak

1.     Pengertian dan komponen – komponen sukubanyak

Bentuk seperti persamaan linear dan persamaan kuadrat merupakan bentuk dari persamaan sukubanyak berderajat satu dan berdarajat dua.

Bentuk – bentuk aljabar berikut ini:

a.      X³ + 4x² – 7x + 10

b.      5x³ – 2x³ + 3x²- x – 5

c.       X⁵ + 6x⁴ – 3x³ +2x² + 10x – 3

Bentuk aljabar  di atas dinamakan sukubanyak atau polinum dalam variabel x yang memuat dalam suku banyak

Definisi:

Bentuk umum sukubanyak dalam variabel x yang berderajat n adalah:

 Sukubanyak tersebut disusun berdasarkan urutan pangkat x menurun dengan:

a_n, a_n-1, …,a₁ = koefisien sukubanyakkonstanta real dan a_n ҂ 0

                        a_n = suku tetap

                        n = derajat sukubanyak

2.     Operasi aljabar sukubanyak

Operasi aljabar pada sukubanyak berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian memiliki sifat dan aturan yang sama seperti operasi aljabar pada bilangan real.

3.     Kesamaan sukubanyak

Definisi:

Misalnya diberikan sukubanyak f (x) dan g (x) dengan

F(x) = a_nxⁿ  + a_n-1 x^n-1  + a_n-2x^n-2 + …. + a₂x² + a₁x + a₀

g(x) = b_nxⁿ + b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + …. + b₂x² +b₁x + b₀

f (x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) jika berlaku:

a_n =b_n, a_n-1= b_n-1  a_n-2 = b_n-2, …. a₂= b₂, a₁ =b₁ a₀ = b₀

B.    Nilai sukubanyak

1.     Menentukan nilai sukubanyak dengan substitusi

Dengan cara ini, nilai sukubanyak p(x) untuk x = k ditulis p(k), ditentukan dengan melakukan subtitusi nilai k kedalam variabel – variabel x pada sukubanyak tersebut.

2.     Menentukan nilai sukubanyak mengunakan skema (bagan)

C.    Pembagian sukubanyak

Definisi:

P(X) = Q(X) . H(X) + S(X)

Pernyataan di atas merupakan pembagian sukubanyak dengan:

P(x) = sukubanyak yang dibagi

Q(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi

S(x) = sisa pembagian

1.     Pembagian bersusun

Prosedur pembagian sukubanyak dengan pembagian bersusun mirip dengan prosedur pembagian pada bilangan bulat.

2.     Pembagian sintetik (skematik/cara horner)

a.     Pembagian sukubanyak oleh (x- k)

b.     Pembagian sukubanyak oleh (ax – b)

c.      Pembagian suku banyak oleh (ax² + bx+c)

GRUP FAKTOR

A.    Definisi Grup faktor

                    Bila H adalah subgrup normal dari grup (G,*), himpunan dari koset – koset G/H = {H*g| g  G} Membentuk  grup (G/H,*) yang didefinisikan oleh(aH )* ( bH ) = ab H,  aH, bH   G/H disebut Grup Faktor G oleh H.

                    Orde dari grup faktor (G/H,*) adalah banyaknya koset – koset dari H dalam G, sehingga :

                    Ind |G/H| = Ind |G:H| =

B.     Sifat Grup Faktor

1.      Setiap grup faktor dari grup siklik

Bukti:

Misalkan G grup siklik maka G = a

Karena G siklik maka G Abelian. Setiap subgrup dari grup abelian selalu Normal sebut H sehingga G/H merupakan grup faktor. Akan ditunjukkan G/N = ( )

Ambil Hb  G/H sembarang dengan b  G. Karena G siklik yang dibangun oleh a maka b= a^m, untuk suatu m bilangan bulat.

Hb = H(a^m) = H  aaa …..a= Ha Ha ….. Ha = (Ha)^m.

Jadi G/H ,<Ha> perdefinisi G/H gurup siklik.

Selidikilah apakah jika G/H siklik apakah G siklik?

2.      Setiap grup faktor dari grup abelian, merupakan grup abelian.

Bukti:

Misalkan G abelian, maka setiap subgrup dari grup abelian merupakan subgrup normal. Sebut H, jadi terdapat G/H merupakan grup faktor.

Akan ditunjukkan G/H abelian.

Ambil Ha, Hb  G/H sembarang, dengan a, b  G, harus ditunjukkan Ha Hb = Hb Ha

Ha Hb = Hab (karena perkalian koset)

            = Hba (G abelian)

            = Hb Ha

Ha Hb = Hb Ha

Jadi G/H merupakan grup abelian.

Selidikilah apakah berlaku sebaliknya?[1]

Contoh :

Misalkan G = Z₆ , N tentukan

a.      G/N

b.      Masing- masing orde unsur dari G/H

Jawab:

a.      G = Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

N = (2) = {0, 2, 4}

G/H = z₆/(2) = {N + 0,N + 1}

b.      0((2) + 0) = 1

0(2) + 1)=2

Karena ((2) + 1) = 2((2) + 1)= ((2) + 1) + ((2) +1)= (2) + 0 = e

               Teorema :

               Jika N subgrup Normal dari grup G, bangun himpunan G/N = {gN| g  G} didefinisikan operasi  * sebagai berikut:

(aN) * (bN) = ab N,  aN, bN  G/N maka <G/H, *> merupakan Grup

Bukti:

Operasi * terdifinisi dengan baik artinya akan ditunjukkan pernyataan berikut ini benar

(jika a,N = a N , bN  = b N  dan (a’N) *(b’N) maka (aN) *(bN)

Ambil sembarang a’N dan b’N  G/N, misalkan a’N = a N dan b’N = b N

Yang berarti terdapat n₁ dan n₂ sehingga a’ = an₁ dan b’ = bn₂

Perhatikan:

 (a’N) * (b’N) = a’b’N = an₁ bn₂ N (karena n₂  N maka n₂N = N

                                   = an₁ b N (karena N subgrup normal maka b N = Nb)

                                   = an₁ N b (karena n₁  N maka n₁ N = N

                                  = a N b (karena N subgrup normal maka b N = Nb

                           = abN

                          = aN *bN  (terbukti)

1.      Sifat Assasiatif dipenuhi

      Ambil sembarang aN b N c N  G/N

      aN * (bN *c N) = aN  *(bc N) = abc N = (ab N) * (c N) = (aN *bN ) *

    ( c N) (Ingat a, b, c G ( Terbukti sifat assosiatif terpenuhi)

2.      Sifat indentitas dipenuhi

Pilih eN  = N  G/N sebagai unsur indentitas, ambil sembarang a N  G/N diperoleh:

(eN )* (a N) = (a N) * (e N) = a e N = aN ( Terbukti sifat indentitas dipenuhi)

3.      Sifat invers dipenuhi

(a N) (a^-1 N) = (a^-1 N) (a N) = a^-1 a N = e N(terbukti sifat invers dipenuhi)[2]

Contoh grup faktor

1.      Misalkan (G,+) = Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ] adalah suatu grup dan H= {0,2, 4} adalah merupakan subgrup dari G. tentukan grup faktordari G oleh H,  yaitu G/H

Jawab:

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa grup tersebut merupakan subgrup normal, dimana koset kiri sama dengan koset kanan.

(G,+) = Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5], generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

Koset kiri:

              0+H = 0 +{0,2,4} = {0,2,4}

              1+H =1 +{0,2,4} ={ 1,3,5}

              2+H =2 +{0,2,4} = {2,4,0}

              3+ H=3 +{0,2,4} ={3,5,1}

              4+H= 4 +{0,2,4} ={4,0,2}

              5+H= 5 +{0,2,4} ={5,1,3}

Koset kanan:

              H+0 = {0,2,4}

              H+1 = {1,3,5}

              H +2 = {2,4,0}

              H+3 = {3,5,1}

              H+ 4 = {4,0,2}

              H+5 = {5,1,3}

Sehingga:

              0 + H = H+ 0={0, 2, 4}

              1+ H = H+ 1={1, 3, 5}

              2+ H = H+ 2={2, 4, 0}

              3+ H = H+ 3={3, 5, 1}

              H+ 4 = H+ 4={4, 0, 2}

              H+ 5 = H+ 5={5, 1, 3}

Maka: koset kiri  = koset kanan

Sehingga : subgrup dari H = {0,2} merupakan sub grup normal

Sekarang kita akan menentukan gruf faktor G oleh H yang dibentuk dari subgrup normal tersebut:

                              Ind |G/H|= Ind |G:H| = 6/3 =2

Unsure –unsur dari grup faktor tersebut adalah 2.

Misalkan kita ambil dari koset kiri

              0 + H ={0, 2, 4}

              1+ H ={1, 3, 5}

              2+ H ={2, 4, 0}

              3+ H ={3, 5, 1}

              H+ 4 ={4, 0, 2}

              H+ 5 ={5, 1, 3}

Maka:

              0 + H =2 + H =4+ H={0,2,4}

              1 + H= 3+H= 5+H = {1,3,3}

Unsur – unsur dari grup faktor tersebut adalah 2 :

              0 + H= {0,2,4} =H

              1 + H= {1,3,5}

Adapun daftar Cayley dari gerup faktor  tersebut adalah

                              Tabel

Grup faktor dari G = z₄ oleh H = {0,2,4}