GRUP FAKTOR

A.    Definisi Grup faktor

                    Bila H adalah subgrup normal dari grup (G,*), himpunan dari koset – koset G/H = {H*g| g  G} Membentuk  grup (G/H,*) yang didefinisikan oleh(aH )* ( bH ) = ab H,  aH, bH   G/H disebut Grup Faktor G oleh H.

                   

                    Orde dari grup faktor (G/H,*) adalah banyaknya koset – koset dari H dalam G, sehingga :

                   

                    Ind |G/H| = Ind |G:H| =

B.     Sifat Grup Faktor

 

1.      Setiap grup faktor dari grup siklik

Bukti:

Misalkan G grup siklik maka G = a

Karena G siklik maka G Abelian. Setiap subgrup dari grup abelian selalu Normal sebut H sehingga G/H merupakan grup faktor. Akan ditunjukkan G/N = ( )

Ambil Hb  G/H sembarang dengan b  G. Karena G siklik yang dibangun oleh a maka b= a^m, untuk suatu m bilangan bulat.

Hb = H(a^m) = H  aaa …..a= Ha Ha ….. Ha = (Ha)^m.

Jadi G/H ,<Ha> perdefinisi G/H gurup siklik.

Selidikilah apakah jika G/H siklik apakah G siklik?

 

2.      Setiap grup faktor dari grup abelian, merupakan grup abelian.

Bukti:

Misalkan G abelian, maka setiap subgrup dari grup abelian merupakan subgrup normal. Sebut H, jadi terdapat G/H merupakan grup faktor.

Akan ditunjukkan G/H abelian.

Ambil Ha, Hb  G/H sembarang, dengan a, b  G, harus ditunjukkan Ha Hb = Hb Ha

 

Ha Hb = Hab (karena perkalian koset)

            = Hba (G abelian)

            = Hb Ha

Ha Hb = Hb Ha

Jadi G/H merupakan grup abelian.

Selidikilah apakah berlaku sebaliknya?[1]

 

Contoh :

Misalkan G = Z₆ , N tentukan

a.      G/N

b.      Masing- masing orde unsur dari G/H

Jawab:

a.      G = Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

N = (2) = {0, 2, 4}

G/H = z₆/(2) = {N + 0,N + 1}

b.      0((2) + 0) = 1

0(2) + 1)=2

Karena ((2) + 1) = 2((2) + 1)= ((2) + 1) + ((2) +1)= (2) + 0 = e

               Teorema :

               Jika N subgrup Normal dari grup G, bangun himpunan G/N = {gN| g  G} didefinisikan operasi  * sebagai berikut:

(aN) * (bN) = ab N,  aN, bN  G/N maka <G/H, *> merupakan Grup

Bukti:

Operasi * terdifinisi dengan baik artinya akan ditunjukkan pernyataan berikut ini benar

(jika a,N = a N , bN  = b N  dan (a’N) *(b’N) maka (aN) *(bN)

Ambil sembarang a’N dan b’N  G/N, misalkan a’N = a N dan b’N = b N

Yang berarti terdapat n₁ dan n₂ sehingga a’ = an₁ dan b’ = bn₂

Perhatikan:

 (a’N) * (b’N) = a’b’N = an₁ bn₂ N (karena n₂  N maka n₂N = N

                                   = an₁ b N (karena N subgrup normal maka b N = Nb)

                                   = an₁ N b (karena n₁  N maka n₁ N = N

                                  = a N b (karena N subgrup normal maka b N = Nb

                           = abN

                          = aN *bN  (terbukti)

1.      Sifat Assasiatif dipenuhi

      Ambil sembarang aN b N c N  G/N

      aN * (bN *c N) = aN  *(bc N) = abc N = (ab N) * (c N) = (aN *bN ) *

    ( c N) (Ingat a, b, c G ( Terbukti sifat assosiatif terpenuhi)

2.      Sifat indentitas dipenuhi

Pilih eN  = N  G/N sebagai unsur indentitas, ambil sembarang a N  G/N diperoleh:

(eN )* (a N) = (a N) * (e N) = a e N = aN ( Terbukti sifat indentitas dipenuhi)

 

3.      Sifat invers dipenuhi

 

(a N) (a^-1 N) = (a^-1 N) (a N) = a^-1 a N = e N(terbukti sifat invers dipenuhi)[2]

 

Contoh grup faktor

1.      Misalkan (G,+) = Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ] adalah suatu grup dan H= {0,2, 4} adalah merupakan subgrup dari G. tentukan grup faktordari G oleh H,  yaitu G/H

Jawab:

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa grup tersebut merupakan subgrup normal, dimana koset kiri sama dengan koset kanan.

(G,+) = Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5], generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

Koset kiri:

              0+H = 0 +{0,2,4} = {0,2,4}

              1+H =1 +{0,2,4} ={ 1,3,5}

              2+H =2 +{0,2,4} = {2,4,0}

              3+ H=3 +{0,2,4} ={3,5,1}

              4+H= 4 +{0,2,4} ={4,0,2}

              5+H= 5 +{0,2,4} ={5,1,3}

 

 

Koset kanan:

              H+0 = {0,2,4}

              H+1 = {1,3,5}

              H +2 = {2,4,0}

              H+3 = {3,5,1}

              H+ 4 = {4,0,2}

              H+5 = {5,1,3}

Sehingga:

              0 + H = H+ 0={0, 2, 4}

              1+ H = H+ 1={1, 3, 5}

              2+ H = H+ 2={2, 4, 0}

              3+ H = H+ 3={3, 5, 1}

              H+ 4 = H+ 4={4, 0, 2}

              H+ 5 = H+ 5={5, 1, 3}

Maka: koset kiri  = koset kanan

Sehingga : subgrup dari H = {0,2} merupakan sub grup normal

Sekarang kita akan menentukan gruf faktor G oleh H yang dibentuk dari subgrup normal tersebut:

                              Ind |G/H|= Ind |G:H| = 6/3 =2

Unsure –unsur dari grup faktor tersebut adalah 2.

Misalkan kita ambil dari koset kiri

 

              0 + H ={0, 2, 4}

              1+ H ={1, 3, 5}

              2+ H ={2, 4, 0}

              3+ H ={3, 5, 1}

              H+ 4 ={4, 0, 2}

              H+ 5 ={5, 1, 3}

Maka:

              0 + H =2 + H =4+ H={0,2,4}

              1 + H= 3+H= 5+H = {1,3,3}

Unsur – unsur dari grup faktor tersebut adalah 2 :

              0 + H= {0,2,4} =H

              1 + H= {1,3,5}

Adapun daftar Cayley dari gerup faktor  tersebut adalah

                              Tabel

Grup faktor dari G = z₄ oleh H = {0,2,4}

 

+	H	1+H
H	H	1+H
1+H	1+H	H